Boolesche Algebra und ihre Anwendungen by John Eldon Whitesitt

By John Eldon Whitesitt

George Boole (1815-1864) flihrte in seinem Buch "The legislation of notion" die erste systematische Behandlung der Logik ein und entwickelte zu diesem Zweck die algebraische Struktur, die heute als Boolesche Algebra bekannt ist. Nur wenige mathematische Werke der vergan genen hundert Jahre haben auf die Mathematik und Philosophie einen groBeren EinfluB ausgetibt als dieses bertihmte Buch. Die Bedeutung dieses Werkes hat Augustus De Morgan mit folgenden Worten zum Ausdruck gebracht: "DaB die symbolischen Prozesse der Algebra, urspriinglich zum Zweck numerischer Rechnungen erfunden, fiihig sein sollten, jeden Akt des Denkens auszudrucken und Grammatik und Worterbuch eiaes allumfassenden structures der Logik zu Hefem, dieses hiitte niemand geglaubt, bevor es in "Laws of concept" bewiesen wurde. " AuBer in der Logik hat die Boolesche Algebra in der Hauptsache zwei andere wichtige Anwendungen gefunden. Die erste riihrt von der Tat sache her, daB die Boolesche Algebra das naturgegebene Werkzeug flir die Behandlung der Verkntipfungen von Mengen von Elementen durch die Operationen von Durchschnitt und Vereinigung darstellt. Zusammen mit dem Begriff der "Anzahl der Elemente" einer Menge gibt die Boolesche Algebra auch die Grundlage flir die Theorie der Wahrscheinlichkeitsrechnung abo Dariiber hinaus ist die Mengenalgebra auch in vielen anderen Zweigen der Mathematik von Bedeutung. Vor etwa zwanzig Jahren (fschloB Claude E. Shannon in zwei Arbeiten der Booleschen Algebra einen neuen Anwendungsbereich, indem er nachwies, daB sie sich zur Darstellung der grundlegenden Eigenschaften von Serien- und Parallelschaltungen bistabiler elektrischer Elemente, wie Schalter und Relais, besonders intestine eignet.

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Das so, ausgewahlte Glied ist dann ein Produkt von n Einsen und also gleich 1. AIle anderen Glieder der vollstandigen Normalform werden dagegen mindestens einen Faktor 0 enthalten und daher selbst gleich 0 sein. Korollar. Zwei Funktionen sind genau dann gleich, wenn ihre disjunktiven Normalformen dieselben Glieder enthalten. 38 Beweis. Zwei Funktionen mit denselben Gliedern sind selbstversHindlich gleich. Umgekehrt, wenn zwei Funktionen gleich sind, dann mUssen sie flir jede Auswahl von Werten flir die Variablen denselben Wert annehmen, insbesondere flir jede Menge von Werten 0 und 1, die man den Variablen zuordnen kann.

In symbolischer Form haben wir damit folgende Gesetze fUr Aussagen: (p+q)' = p'q' (pq)' = p'+q' Beispiel 1 p sei die Aussage "Raketen sind kostspielig", q dagegen sei: "Oma kaut Gummi". Man schreibe die folgenden Aussagen aus symbolischer Notierung ins Deutsche um: a) p+q', b) p'q', c) pq' +p'q. LOsung a) Raketen sind kostspielig oder Oma kaut keinen Gummi. b) Raketen sind nicht kostspielig und Oma kaut keinen Gummi. c) Raketen sind kostspielig und Oma kaut keinen Gummi oder Raketen sind nicht kostspielig und Oma kaut Gummi.

Durch Faktorenzerlegung verschwindet Xj' Dieser ProzeB kann mit jeder Variablen wiederholt werden, so daB sich die ganze Normalform auf 1 reduziert. Satz 2. Wenn jeder der n Variablen der Wert 0 oder 1 in einer beliebigen, aber festen Weise zugeordnet wird, dann hat genau ein Glied der vollstandigen disjunktiven Normalform in n Variablen den Wert 1, wahr end alIe anderen den Wert 0 haben. Beweis. aI' a2, ... ,an mogen die Werte von Xl> x 2 , ... Xn in dieser Reihenfolge darstellen, wo jedes ai 0 oder 1 ist.

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