Algebra · Invariantentheorie · Geometrie by David Hilbert (auth.)

By David Hilbert (auth.)

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A Concrete Introduction to Higher Algebra (3rd Edition) (Undergraduate Texts in Mathematics)

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2 Nach den letzteren Ausfiihrungen ist jede Form des Biischels c0 cp~'> + c... cp't> im Sinne der Bedingung (13) dem Wurzelwerte AY'' zugeordnet. llen jedem der v + 1 untereinander verschiedenen Wurzelwerte A. B gibt. (/<) cp~'), (f' cpt>)i = A,(/') cp~u) ist dann die Gleichberechtigung der fraglichen Formen mit irgend zwei linearen Kombinationen ihrer selbst direkt erkennbar. u>(x) cp) ,- cp(x) cp(u>(x0l)}2. ). gegenuber den linearen Transformationen der Grundform einen invarianten Charakter besitzt; d.

X2 )~-i Die urspriingliche Gleichung (7) ergibt andererseits durch Multiplikation mit(- It-' (- l)Y-i(aloc2- a2cxt)i (aixi + a2x2)i(octxi + ~x2)~-i woraus durch Vergleichung der Koeffizienten fiir die Zahlen k die weitere allgemeine Relation (9) gewonnen wird. Die heiden Formeln (8) und (9) fassen wir kurz in die Doppelgleichung (10) zusammen, welche fUr uns ein besonderes Interesse beansprucht, da sie die Determinante (6) und damit unsere Gleichung (5) als Bestimmungsgleichung fiir A. einer naheren Behandlung zuganglich macht.

H. hrend sich die iihrigen pin ; Paare entgegengesetzt gleioher Werte anordnen. Was die heiden hisher nooh nicht in analoger Weise unterschiedenen Hauptfalle I und IV hetrifft, so ist allein der erstere von heiden dadurch ausgezeichnet, da13 fiir ihn die determinierende Gleichung im allgemeinen P + 1 wesentlich untereinander verschiedene Wurzeln §2 47 Die Bestimmung des Systems der irrationalen Kovarianten q;. liefert. Fiir Hauptfall IV namlich erscheint unsere Determinante (6) vermoge der den Zahlen k anhaftenden Eigenscha£t (9) als schiefsymmetrisch beziiglich des Diagonalgliedes: Da dieselbe zudem geradreihig ausfallt, so stellt sie einem bekannten Determinantensatze zufolge das vollstandige Quadrat eines Ausdruckes dar, welcher Aim~~ 1 -ten Grade enthalt.

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